di David Hilbert e Stefan Cohn-Vossen, Bollati Boringhieri, Torino 1991 (edizione originale Anschauliche Geometrie: Einfachste grundbegriffe der topologie, Editore Julius Springer Verlag, Berlin 1932).Stralcio dalla Prefazione, pag. VII-X.
In matematica, come in tutte le scienze, ci imbattiamo in due tendenze diverse: da una parte la tendenza astratta, che si propone di ricavare delle relazioni logiche dal molteplice materiale che ci sta a disposizione, quindi di ordinarlo e collegarlo in maniera sistematica; dall'altra, la tendenza intuitiva, che si propone piuttosto di giungere a una chiara percezione degli oggetti considerati e a una rappresentazione concreta delle loro relazioni reciproche.
In particolare, in geometria, la tendenza astratta ha dato origine ai grandiosi edifici sistematici della geometria algebrica, della geometria reimanniana e della topologia, nei quali si applicano su vasta scala i metodi del ragionamento astratto, del simbolismo e del calcolo. Tuttavia si ascrive anche oggigiorno una grande importanza al concetto geometrico intuitivo, non solo per il suo alto valore euristico, ma anche perchè esso ci permette di comprendere e apprezzare meglio i risultati della ricerca scientifica.
In quest'opera vogliamo dare un'idea dello stato attuale della geometria dal punto di vista intuitivo. Basandoci sull'intuizione, possiamo render facilmente accessibili i vari fatti e problemi geometrici; anzi in molti casi è possibile dare un cenno sui metodi di ricerca e di dimostrazione che conducono alla conoscenza dei fatti, in forma intuitiva, senza che sia necessario addentrarsi nei particolari delle teorie astratte e del calcolo. Per esempio si può far vedere che una sfera con un foro, anche molto piccolo, può sempre essere piegata, o che due superfici differenti in forma d'anello non possono, in generale, esser rappresentate conformemente l'una sull'altra, e la dimostrazione può essere abbozzata nelle sue linee essenziali, in modo da soddisfare anche chi non vuol seguire i particolari di uno sviluppo analitico.
Grazie alla molteplicità degli argomenti della geometria e alle relazioni degli stessi coi rami più diversi della matematica, otteniamo per questa via anche uno sguardo d'insieme sulla matematica in generale, e ci possiamo formate un'idea della ricchezza di pensiero contenuta in essa. Così una rappresentazione della geometria considerata intuitivamente, nelle sue grandi linee, può contribuire a far valutare in modo più giusto la matematica, da una vasta categoria di persone. Giacché, in generale, la matematica non è guardata con molta simpatia, anche se si riconosce la sua importanza. La causa di ciò deve essere ascritta all'opinione molto diffusa che la matematica sia una continuazione o un'intensificazione dell'arte di calcolare. Il nostro libro contribuirà a combattere tale opinione, usando invece di formule delle figure intuitive, che il lettore potrà facilmente sostituite con modelli. Il libro ha lo scopo di rendere più gradevole lo studio della matematica, dando al lettore la possibilità di penetrare più facilmente nello spirito di tale scienza, senza costringerlo a sottoporsi a uno studio gravoso.
... omissis ...
Trattando della "geometria intuitiva", ho cercato di sfruttare il concetto di spazio, quale emerge dall'intuizione immediata; ... omissis ... Il fatto che l'intuizione è stata sempre la vera forza orientatrice di tutte queste teorie, costituisce un esempio luminoso dell'accordo tra intuizione e pensiero. ... omissis ...
Gottinga, giugno 1932 ............................................................. D. H.
